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[数学物理] 趣味数学(十)_再找坏球

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匿名  发表于 2013-5-17 00:28:04 |阅读模式
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 星星还是那颗星星,月亮还是那个月亮,问题也还是那个问题:有12个外表一模一样的球,其中有一个坏球重量不同于其他11个。只允许使用三次天平,如何找出坏球并弄清轻重?

为叙述方便,先给球用数字1,2,3,。。。,12标上号。

每用一次天平,就会有一个结果:左重,右重,或左右平衡。左重用L表示,右重用R表示,左右平衡就用B(BALANCED)表示。从左到右依次写下三次结果。比方说,LBR表示第一次左重,第二次左右平衡和第三次右重。我们的目标是设计一种三次称球的方案,使得从称球的结果可以简单判断哪一个是坏球,是轻还是重。如何做到这一点呢?

我们知道,三次称球,有27种可能的结果,因为每称一次有三种可能结果。其中有三种结果,我们可设法排除。哪三种呢?就是LLL,RRR和BBB。结果BBB说明什么?它说明坏球三次都没有上天平。不上天平称称,如何能知道是轻还是重呢?所以每个球至少得用一次天平。另外,LLL和RRR表示坏球始终在天平的同一边,我们也得排除。排除了这三种情况,还剩24种可能的结果。

另一方面,坏球可以是12个中的任何一个,又有轻重两种可能,所以也是24种可能。如果能够找到一种方案,使得24种可能的结果分别对应24种可能,那就万事大吉了。

有这样的方案吗?

为了方便,先假设坏球为重。结果LRB说明了什么?它表示:坏球先在左边,然后在右边,最后不在天平上。用l,r,b分别表示某球在左边,右边和不在天平上。也就是说,如果坏球为重,称球的结果可以跟踪坏球三次分别在哪一组,所以LRB对应lrb了。

我们称lrb为某球的轨迹。总共有12个球,所以有12个轨迹。自然,我们希望12个轨迹不同。

假如某球有轨迹lrb,也就是说,某球分别依次在左边,右边和不在天平上。如果它是坏球,会有什么结果?如坏球为重,结果就是LRB,为轻则是RLB。所以同一个轨迹对应两个可能的结果。

当然,轨迹rlb也对应两个不同的结果LRB和RLB。所以我们希望轨迹rlb和lrb只出现一次。类似,也希望rrb和llb只出现一次。不难发现,可以把轨迹分成12类,我们希望每类中只出现一次。这12类分别是:{llr,rrl} {llb,rrb} {lrb,rlb} {lrl,rlr} {lrr,rrl} {lbr,rbl} {lbb,rbb} {lbl,rbr} {bbl,bbr} {blr,brl} {blb,brb} {bll,brr}。

每用一次天平,相当于把球分成l,r,b三组。为了使每次获得的信息量最大,我们希望三组都含同样的球数,即每组4个。如何从12类中找出12个轨迹,使得每次三组都正好有4个球呢?

我们将轨迹按如下方法分成两大类。先定义l->r->b->l为顺时针变化。任何一个轨迹,都至少有一次变化(因为我们排除了lll,rrr和bbb),也就是从一组换到另一组。我们只看第一次变化:如是顺时针变化,就将它归为顺时针类,否则归为逆时针类。比如lrb属顺时针类,因为它的第一次变化是l->r,为顺时针变化。轨迹bbl也属顺时针类,因为它的第一次变化b->l为顺时针变化。

从12个轨迹类中找出顺时针类,我们不妨称之为重球类,也称逆时针类为轻球类。重球类为:llr,lrb,lrl,lrr,rrb,rbl,rbb,rbr,bbl,bll,blb,blr;相应的轻球类为:rrl,rlb,rlr,rll,llb,lbr,lbb,lbl,bbr,brr,brb,brl。

我们随便给12个轨迹类分派球号。比如:

球号 重球类    轻球类
----- --------- ----------
1           llr            rrl
2           lrb              rlb
3           lrl               rlr
4           lrr               rll
5           rrb              llb
6           rbl              lbr
7           rbb             lbb
8           rbr              lbl
9           bbl              bbr
10         bll               brr
11         blb              brb
12         blr              brl

然后再根据球号所对应的重球类轨迹制定称球方案如下:

天平左边                   天平右边
-----------------   ----------------- 
1,2,3,4    5,6,7,8
1,10,11,12      2,3,4,5
3,6,9,10    1,4,8,12

这样一来,就很容易根据结果找出答案了。将结果中的L变成l,R变成r以及B变成b,也即将结果变成轨迹。如果轨迹在重球类,则坏球为重,否则为轻。它所对应的球号就是坏球。比如结果是RRL,其轨迹为rrl,属轻球类,对应1号球,所以坏球为1号球并且轻。

有兴趣的朋友不妨试试其它结果。HAVE FUN!


 

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